Authors/Buridan/In libros posteriorum analyticorum/Liber 1/Q25

Latin	English
Quaestio 25a
UTRUM MATHEMATICAE SCIENTIAE SINT ALIARUM SCIENTIARUM CERTISSIMAE
Consequenter quaeritur, vicesimo quinto, utrum mathematicae scientiae sint aliarum scientiarum certissimae.
1. Arguitur quod non per Aristotilem, prooemio de Anima*, ubi Aristotiles dicit quod scientia de anima debet omnibus aliis praeponi secundum nobilitatem et certitudinem; ergo scientia de anima videtur esse aliarum certissima, cum tamen non sit scientia mathematica.
2. Item, expresse, prooemio Metaphysicae*, dicit Aristotiles quod prima scientia, id est metaphysica, est omnium aliarum certissima; ergo mathematicae non sunt certissimae.
3. Et idem probatur ratione; illa scientia est certior aliis, vel certissima, quae est ex principiis omnino certissimis et notissimis; sed principia metaphysicae, et non principia mathematicae, sunt omnino prima et certissima in tantum quod nullus potest ea mente negare, ut habetur quarto Metaphysicae*; ergo metaphysica est aliarum certissima, et non mathematica.
4. Item, subalternans est certior subalternata, unde propter hoc subalternata supponit a subalternante sua principia; sed metaphysica subalternat sibi scientiam mathematicam, immo etiam et omnes alias scientias speciales; ergo metaphysica est certior mathematica, et simul aliis specialibus.
5. Item, istae scientiae non sunt certissimae quarum principia sunt falsa vel dubia, aut ex aliis scientiis sumpta et declarata, et quarum etiam suppositiones sunt falsae vel dubia et similiter conclusiones (ista maior per se manifesta est); sed mathematicae scientiae sunt huius modi. Probo istam minorem: quia principium mathematicum est 'omne totum est maius sua parte', et hoc est falsum, quia compositum ex materia et forma non est maius quam materia; si enim compositum est tripedale, ita materia est tripedalis.
6. Similiter, illud est principium mathematicum 'a quibuscumque aequalibus si aequalia demas, quae remanent sunt aequalia'; et illud principium esset falsum si magnitudo esset composita ex punctis: quia acciperem duas lineas quarum quaelibet esset composita ex tribus punctis, et tunc pono quod a qualibet istarum linearum auferatur linea duorum punctorum; utrobique remanebit solum punctum; et sic prius illae lineae essent aequales, et ab eis remotae sunt lineae aequales; tamen quae remanent non sunt aequalia, quia sunt indivisibilia; modo indivisibile non dicitur aequale nec inaequale, quia indivisibile non est quantum, cum nihil est aequale vel inaequale nisi quantum; <tamen> ex mathematica non est demonstratum utrum linea componatur ex punctis vel <non>; ideo vel illud principium est in mathematica scientia incertum, vel est ex alia scientia demonstratum et suppositum, et sic habeo quod intendebam probare.
7. Aliud principium in mathematica est quod omnes anguli recti sunt ad invicem aequales et quod omnis angulus acutus est omni angulo recto minor, et illud principium est similiter falsum; quia signemus angulum rectum A et lineae constituentes eum sint tripedales, et <sit> alius angulus rectus B, et lineae constituentes eum sint solum pedales: dico quod isti anguli non sunt aequales ad invicem, immo angulus linearum tripedalium est multum maior alio. Probatio: quia inquiram "quae res est angulus iste?"; et non potest dici quod angulus sit solum punctus in quo lineae se contingunt, quia tunc omnis angulus esset indivisibilis, et tunc nullus esset maior, quod est contra mathematicum; vel igitur ille angulus est illae duae lineae quae tangunt se in puncto, vel est superficies contenta inter illos duas lineas; si dicis quod angulus est illae duae lineae, habeo propositum, quia lineae tripedales sunt maiores pedalibus; si dicis quod ille angulus est superficies contenta inter illas lineas, adhuc sequitur propositum, quia superficies maior continetur inter illas duas lineas tripedales quam inter pedales.
Sed forte diceres quod angulus, licet sit illa superficies vel illae lineae, tamen non est illa tota superficies vel <totae> illae lineae. Contra hoc arguitur sic: si angulus sit aliqua pars illius superficiei, et non tota illa superficies, oportet signare quanta et quae pars illius superficiei est angulus, et non erit aliqua ratio quare tu debeas magis signare quartam partem quam tertiam, vel millesimam quam centesimam; ideo vel angulus non est aliqua pars illius superficiei, vel oportet dicere quod sit superficies. Sic igitur apparet quod illud principium est falsum. Et ita posset probari quod unus <angulus> acutus esset altero angulo recto multo maior, scilicet si angulus acutus extenditur per spatium unius leucae et angulus alius rectus solum per spatium unius pedis.
8. Similiter ostendo quod suppositiones mathematicae sunt falsae: quia mathematicus supponit quod omni magnitudine data contingit maiorem <dare> (aliter conclusio geometriae esset falsa quae ponit quod super omnem lineam datam contingit triangulum aequilaterum collocari); modo ista conclusio esset falsa si non posset dari magnitudo maior caelo: quia ego darem lineam diametralem indivisibilem de polo ad polum, et tunc super illam lineam non posset triangulus aequilaterus collocari, quia oporteret tertium angulum exire a caelo, quod non est possibile, ex quo illo non est magnitudo <maior>; sed tamen Aristotiles credidit probare in naturali philosophia quod est dare magnitudinem qua non contingit dare maiorem: <quia non contingit dare maiorem> magnitudine mundi; igitur praedictum principium mathematicum et prima conclusio mathematica essent falsa.
Oppositum arguitur per Aristotilem: quia, secundum omnes expositores, intendit, primo huius*, declarare quod in mathematicis scientiis contingit minor error et deceptio quam in aliis scientiis, et ita ipsae sunt certiores aliis.
Item, arguitur per Commentatorem, secundo Metaphysicae*, dicentem quod scientiae mathematicae sunt in primo gradu certitudinis, et naturales in hoc sequuntur eas, et sine dubio quasi omnes, ex habitudine naturali intellectus, concedunt demonstrationes mathematicas esse certissimas.
Ista quaestio breviter soluenda est per distinctionem diversorum modorum secundum quod attendi potest certitudo scientiae. Unde potest dici quod quattuor modis potest attendi certitudo in scientia. Primo modo, ex parte rerum significatarum, propter earum firmitatem et immutabilitatem.
Tunc sit prima conclusio quod secundum istum modum certitudinis, metaphysica est aliis scientiis certissima, pro tanto quod ipsa tractat de deo et intelligentiis, quae inter alia entia sunt firmissima et immutabilissima. Aliae autem scientiae non tractant de praedictis, saltem secundum conceptus speciales. Unde si scientia naturalis considerat de deo, tamen hoc est secundum rationem secundum quam dicitur motor, in qua ratione connotatur motus et transmutatio.
Secundo modo, scientia dicitur certior inter alias scientias ex eo quod scibile suum relinquit pauciores dubitationes.
Tunc sit secunda conclusio quod secundum istum modum scientia propter quid de eadem re est certior scientia quia. Quia scito quid est, adhuc relinquitur dubitari propter quid est, licet non e converso. Tamen, hoc non obstante, difficilius est saepe, et occultius, scire propter quid quam scire quia est; ideo si certitudo attenderetur penes facilitatem et evidentiam, posset dici e converso, scilicet quod saepe demonstratio et scientia de eadem <re> quia est sunt certiores quam scientia et demonstratio propter quid.
Tertio modo attenditur certitudo scientiae ex evidentia principiorum, et non suppositione eorum ab alio. Et tunc credo quod concedendum sit quod metaphysica sit aliarum certissima. Nam eius prima principia sunt omnino ex se evidentia, et non supposita ex aliqua scientia priori. Principia autem specialia in specialibus scientiis aut sunt occulta, aut explanata per metaphysicam, vel sunt experta per sensum et per sensuales experientias, sicut est de multis principiis naturalibus, et ibi non potest esse tanta certitudo quanta est in illis principiis quae sunt intellectui evidentia.
Credo etiam quod isto modo mathematica scientia est multum incerta. Quia principia mathematicalia indigent bene explanatione per superiores scientias; et etiam multae conclusiones mathematicae indigent expositione eius quod de est dubium et a multis non concessum, <ut> scilicet quod linea non sit composita ex punctis; verbi gratia, conclusio in geometria est <quod possibile est> omnem lineam per aequalia dividere, quod esset impossibile de linea punctorum imparum, et etiam ita ista conclusio esset falsa quod diameter est incommensurabilis costae, et sic de multis aliis; tamen geometria non habet determinare nec demonstrare illam dubitationem.
Ultimo <modo> certitudo attenditur ex certo modo demonstrandi suppositis principiis. Et tunc esset concedendum quod mathematicae demonstrationes essent in primo gradu certitudinis: quia demonstrationes mathematicae maxime observant formam syllogisticam et modum, et maxime sunt ex propriis mediis. Et si est dubitatio in huius modi demonstrationibus mathematicis, est maxima certitudo ex suppositione principiorum, et est tamquam certitudo condicionalis quod si ita est sicut <principia ponunt, ita est sicut> conclusio ponit.
Tunc ad rationes respondetur. Et primo puto quod non erat intentio Aristotilis, primo huius, comparare scientias mathematica alias scientias, sed uolebat scientias demonstrativas comparare ad illas quas vocabat doctrinas ac persuasiones dialecticas, in quibus persuasionibus dialecticis contingit pluries error et deceptio, quia non observatur forma syllogistica et modus.
1. Hoc viso, dicendum est de scientia de anima quod Aristotiles comparabat eam nec ad mathematicam nec ad metaphysicam, sed ad alias scientias naturales. Et intendebat etiam de aliquali modo certitudinis de quo non est locutum, scilicet quia operationes animae in nobis experiuntur, ideo caeteris paribus debemus magis esse certi de his quae in nobis experiuntur quam de aliis.
2-4. Ad alias rationes, concessum est quod metaphysica simpliciter est certissima, et etiam eius principia sunt evidentissima.
5. Sed ad rationem quae arguebat de falsitate principiorum mathematicalium et suppositionum et conclusionum, dicendum est quod haec omnia sunt vera scilicet principia, suppositiones et conclusiones in mathematica, si debite intelligantur. Conceditur etiam bene quod aliqua sunt ex aliis scientiis supposita. Et quando tu dicis de illo supposito 'omne totum est maius sua parte', debet intelligi de toto quantitativo; omne enim totum quantitativum quantitate extensionis est extensive maius sua parte et omne totum quantitativum quantitate discretionis est maius, id est plus, sua parte. Modo tu arguebas de toto essentiali et de maioritate extensionis; ideo non arguebas contra principium.
6. Ad aliam, "si ab aequalibus ...", dico quod illud principium <non valet de> magnitudinibus, quia nulla magnitudo componitur ex indivisibilibus; ideo non est simpliciter principium, sed est in mathematica supponendum.
7. Ad aliam, de angulo, dico breviter quod rationes verum concludebant, ita quod haec est simpliciter falsa 'omnis angulus rectus omni angulo recto est aequalis'; et haec etiam est falsa 'omni angulus acutus est minor recto'. Tamen sunt verae ad intellectum quem habet mathematicus, scilicet quod omnes anguli recti secundum aequalem distantiam a puncto angulari sunt aequales et omnes anguli acuti sunt omnibus angulis rectis minores secundum aequalem distantiam a puncto angulari.
8. Ad rationem de suppositionibus, dico quod mathematicus no supponit quod omni magnitudini data contingit dare maiorem, sed quod omni <magnitudine> data contingit imaginari maior. Prima enim conclusio debet intelligi secundum dictam considerationem quod super omnem lineam datam contingit triangulum aequilaterum collocari <LACUNA> sed sit dare magnitudinem tantam quanta potest imaginari. Et si aliquis arguit de suppositionibus quae solent fieri discipulis (uerbi gratia suppositio quod linea scripta in pariete sit recta quae tamen non est recta), dico quod illa suppositio secundum sensum quem nobis debet facere non est falsa, quia sensus non debet esse quod illa quam vides sit recta, sed quod quaedam alia quam tu per eam intelligis significari sit recta, et hoc est uerum.